數論的函數 / Arithmetic function
자연수
(1)에서
복소수로 가는 함수를 가리킨다. 자연수의 성질을 탐구하기 위해 정의된 함수로 주로 정수론 분야에서 다루는 중요한 도구다.
목차
1. 연산
1.1. 사칙연산
1.2. 디리클레 곱
2. 성질
2.1. 곱셈적 함수
2.2. 완전 곱셈적 함수
3. 예시
두 수론적 함수 f, g에 대하여 다음과 같은 연산들이 정의된다.
(f+g)(n)=f(n)+g(n)(f-g)(n)=f(n)-g(n)(f \times g)(n)=f(n) \times g(n)(f/g)(n)=f(n)/g(n)(2)
(f*g)(n) := \sum_{d \mid n} f(d)g(\frac{n}{d})
수론적 함수들의 집합에서 매우 중요한 이항 연산이다. 단위 함수
I는 이 연산에 대한 항등원 역할을 한다.
곱셈적, 또는 적법적 함수는 다음을 만족하는 수론적 함수
f를 말한다.
f \neq 0,\ f(mn)=f(m)f(n)\ \text{if}\ (m,n)=1
2.2. 완전 곱셈적 함수 ✎
다음 조건을 만족하는 함수를 말한다.
곱셈적 함수보다 더 강력한 성질을 가지며, 대표적으로 항등 함수
N(n)=n 등이 이에 해당한다.
- 항등 함수
N(n)=n - 항등원 함수
I(n)=\left[\frac{1}{n}\right]=\begin{cases}1 & \text{if}\ n=1 \\ 0 & \text{if}\ n>1 \end{cases} - 단위 함수
u(n)=1\ \forall n - 뫼비우스 함수
\mu (n) = \begin{cases}1 & \text{if}\ n=1 \\ (-1)^k & \text{if}\ 1<n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{e_i},\ \forall i\ e_i=1 \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases} - 오일러 파이 함수
\phi(n)=\sum_{k<n,\ (n,k)=1}1 - 망골트 함수
\Lambda(n)=\begin{cases} \log p & \text{if}\ \exists p,\ m \geq 1 \text{ s.t. } n=p^m\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} - 주어진 자연수
n의 약수의 개수 \tau(n)=\sum_{d \mid n}1 - 주어진 자연수
n의 약수의 합 \sigma(n)=\sum_{d \mid n}d
관련 문서
